المحاضرة الخامسة - اساليب كمية 21/3/2012

المحاضرة الخامسة - اساليب كمية 21/3/2012 - الساعة 9 صباحا تابع | الفصل الرابع :- تحليل ماركوف - ما هو المقصود بكلمة موقف ؟ - الموقف هو كافة...

المحاضرة الخامسة - اساليب كمية 21/3/2012 - الساعة 9 صباحا

تابع | الفصل الرابع :- تحليل ماركوف

- ما هو المقصود بكلمة موقف ؟
- الموقف هو كافة الظروف الممكنة الخاصة بعملية ما او نظاما ما , فعلى سبيل المثال عند شراء الة جديدة يمكن ان توجد فى احد الموقفين وهى اما ان تعمل بشكل صحيح او لا تعمل بشكل صحيح , و كذالك بالنسبة للطالب يمكن ان يتخرج من الجامعة واما ان يفصل من الجامعة .

- ماذا يقصد بمصفوفة احتمالات التغيير ؟
- هذه المصفوفة تحتوى على احتمالات تغير الموقف الحالى حتى يمكن الانتقال الى موقف جديد فى المستقبل , ويعتمد اسلوب ماركوف على ضرب مصفوفة الموقف الحالى × مصفوفة احتمالات التغير

مثال ..
بفرض ان هناك قرية صغيرة يسكنها 100.000 فرد , يحصلون على احتياجاتهم الاساسية من 3 متاجر فقط , ويقدر عدد المتعاملين مع المتجر الاول بـ 40.000 فرد و المتجر الثانى 30.000 فرد والمتجر الثالث 30.000 فرد , فكيف يمكن صياغة مصفوفة الموقف الحالى لهذا المثال .

- مصفوفة الموقف الحالى يطلق عليها باى ( 1 ) (0.4 , 0.3 , 0.3 ) وهى حصص المتاجر الثلاثة وفقا لنسبة عدد الافراد فى القرية .

- وفيما يلى مصفوفة احتمالات التغيير لهذا المثال فى الشهر القادم حيث يمكن ان يحتفظ المتجر الاول بـ 80 % من عملائه فى حين يتحول 10 % الى المتجر الثانى و 10% الى المتجر الثالث , اما المتجر الثانلا يحتمل احتفاظه بـ 70 % من عملائه فى حين يتحول 20% الى المتجر الثالث و 10% الى المتجر الاول , اما المتجر الثالث فيحتمل احتفاظه بـ 60 % من عملائه بينما ينصرف 20% الى المتجر الاول و 20% الى المتجر الثانى .

كيف يمكن كتابة مصفوفة التغيير ؟
- مصفوفة يرمز لها بـ ( ح ) .
- هذه المصفوفة تظل ثابتة و لا تتغير طول فترة التنبؤ .



شرح الجزئية دى :
* هيحتفظ بـ 80% الشهر القادم يبقى نحط 80% فى المتجر الاول
و الباقى زى ما فى المثال 10% للمتجر الثانى و 10% المتجر الثالث .
* نفس النظام مع المتجر الثانى هيحتفظ بـ 70% يبقى نحط 70% فى المتجر الثانى
والباقى زى ما فى المثال 10% متجر اول و 20% متجر ثالث .

( 2 ) = ( 1) × ( ح )
حيث ان :
( 2 ) :- هى مصفوفة الموقف للشهر القادم
( 1) :- مصفوفة الموقف الحالى ( الشهر الحالى )
ح : هى المصفوفة اللى عملانها ووزعنها من خلالها الافراد على المتاجر الثلاثة وهى بتظل ثابتة .


( 2 ) = ( 1) × ( ح )
=
هنضرب (0.4 , 0.3 , 0.3 ) فى كل صف بالطول فى المصفوفة ( مصفوفة التغيير ح )
= ( 0.4 × 0.8 + 0.3 × 0.1 + 0.3 × 0.2 , 0.4 × 0.1 + 0.3 × 0.7 + 0.3 × 0.2 , 0.4 × 0.1 + 0.3 × 0.2 + 0.3 × 0.6 )
= ( 0.41 , 0.31 , 0.28 )


( 3 ) = ( 2) × ( ح )
=

= ( 0.41 × 0.8 + 0.31 × 0.1 + 0.28 × 0.2 , 0.41 × 0.1 + 0.31 × 0.7 + 0.28 × 0.2 , 0.41 × 0.1 + 0.31 × 0.2 + 0.28 × 0.6 )
= ( 0.415 , 0.314 , 0.271)

( 4 ) = ( 3) × ( ح )
( 5 ) = ( 4) × ( ح )
وهكذا ...


تحليل ماركوف فى عمليات الالة
- بفرض ان كلية تجارة اشترت الة لتصوير المستندات , حيث لوحظ انه يحتمل ان تعمل بنسبة 80% بشكل صحيح هذا الشهر اذا كانت تعمل بشكل صحيح فى الشهر الماضى , وهذا يعنى ان هناك احتمال 20% ان تعمل بشكل غير صحيح فى الشهر القادم على الرغم انها كانت تعمل بشكل صحيح فى الشهر السابق مباشرة .
كما لوحظ ان هذه الماكينة يمكن ان تعمل بشكل غير صحيح بنسبة 90% من الوقت طالما كانت تعمل بشكل غير صحيح فى الشهر السابق مباشرة , اذا لم يتم اصلاح هذه الالة وهذا يعنى ان هناك احتمال 10% ان تعمل الالة بشكل صحيح اذا كانت تعمل بشكل غير صحيح فى الشهر السابق .

كيف يمكن صياغة مصفوفة التغيير ؟

مصفوفة الموقف الحالى هنا ستكون ( 1 ) = ( 1 , صفر )
لان اى حد بيشترى الة بيتوقع انها تعمل بكامل طاقته وانها متعطلش فى اول فترة .

هل يمكن التنبؤ باماكنيات عمل هذه الالة فى الشهر القادم ؟
( 2 ) = ( 1) × ( ح )

= ( 1 × 0.8 + 0 × 0.1 , 1 × 0.2 + 0 × 0.9 )
= ( 0.8 , 0.2 )
:- احتمالات عمل الالة بشكل صحيح فى الشهر القادم 0.8 و احتمالات الا تعمل بشكل صحيح هو 0.2

هل يمكن التنبؤ باماكنيات عمل هذه الالة فى الشهر بعد القادم ؟
( 3 ) = ( 2) × ( ح )
=

= ( 0.8 × 0.8 + 0.2 × 0.1 , 0.8 × 0.2 + 0.2 × 0.9 )
= ( 0.66 , 0.34 )
:- احتمالات عمل الالة بشكل صحيح فى الشهر القادم 0.66 و احتمالات الا تعمل بشكل صحيح هو 0.34

السؤال هنا بقى ؟؟ هل المصفوفة هتوصل لـ ( 0 , 1 )
الجدول صـ 125 من كتاب الاساليب الكمية فى 15 محاولة قام بيها ماركوف لمصفوفة الموقف الحالى لـ 15 فترة .
هنلاحظ ان الانخفاض فى الاحتمالات يحدث بشكل كبير فى الفترات الزمنية القادمة الاولى , وبعد كده هيبدأ مقدار الانخفاض فى الاحتمالات يقل مع زيادة الفترات الزمنية .

وضع التوزان فى الاجل الطويل
( 1) , ( 2 ) = [ 1 , 2 × ]

= ( 0.8 1 + 0.1 2 , 0.2 1 + 0.9 2 )

هنجيب 3 معادلات ..
المعادلة لاولى :- 1 = 0.8 1 + 0.1 2
المعادلة الثانية :- 2= 0.2 1 + 0.9 2
المعادلة الثالثة :- 1 + 2 = 100 %

يجب استبعاد المعادلة 1 او المعادلة 2 حتى يصبح عدد المعادلات مساويا لعدد المجاهيل , بافتراض حذف المعادلة الاولى :
2= 0.2 1 + 0.9 2
2 - 0.9 2 = 0.2 1
0.1 2 = 0.2 1
2 = ( 0.2 1 ÷ 0.1 )
2 = 2 1

بالتعويض فى المعادلة الثالثة ..
1 + 2 = 1
1 + 2 1 = 1
3 1 = 1
1 = 0.33
2 = 0.667

( 1 , 2 ) وضع التوازن فى الاجل الطويل
= ( 0.33 , 0.667 )

:- احتمالات عمل الالة بشكل صحيح فى الاجل الطويل 0.334 و احتمالات الا تعمل بشكل صحيح هو 0.667

انتهت المحاضرة .. كتبها مصطفى فتحى
للتواصل مع مصطفى على فيس بوك http://www.facebook.com/Kareem